Sujet de thèse : Combinatoire des tableaux escaliers

Les tableaux de permutation sont des objets récents introduits par L. Williams (Harvard) [22]. Ils sont une sous-classe des Γ -diagrammes introduits A. Postnikov (MIT) [19] pour l’énumération des cellules totalement positives ou nulles de la Grasmannienne. Voulant généraliser des travaux de E. Duchi (LIAFA, Paris 7) et G. Schaeffer (LIX) [11], R. Brak et al. [1] ont travaillé sur les aspects combinatoires de la distribution stationnaire d’un modèle de physique statistique (PASEP Partially asymmetric self exclusion process) défini par B. Derrida (LPS, ENS) [10]. En remarquant que la probabilité d’être dans un état avec k particules dans le modèle PASEP était une des séries génératrices calculées par L. Williams, S. Corteel et L. Williams ont chercher faire le lien entre les tableaux de permutation et ce modèle PASEP [7, 8]. Plusieurs études portant sur les propriétés combinatoires de ces tableaux de permutation et en particulier sur des bijections entre ces tableaux de permutation et les permutations [2, 5, 20] ont été publiées. La thèse de M. Josuat-Vergès (LRI, Orsay) est centrée sur la combinatoire de ces tableaux et leur lien avec la fonction de partitions du PASEP [13, 14, 15, 16, 17, 4]. Ces tableaux de permutation ont été redéfini sous une forme plus symétrique par X. Viennot (LaBRI), qui les a appelé tableaux alternatifs [21]. Leur définition et certaines de leurs propriétés combinatoires ont été étudiées par P. Nadeau (TWU, Vienne)[18]. Récemment, S. Corteel et L. Williams ont défini de nouveaux objets combinatoires qui généralisent les tableaux de permutation: les tableaux escalier [9]. Une bijection entre ces tableaux et des permutations doublement signées est établie dans [6]. Mais cette bijection ne permet pas de comprendre les statistiques naturelles des tableaux et leurs liens avec la combinatoire des permutations signées. Le but de cette thèse est donc de faire une théorie combinatoire de ces tableaux escalier et de généraliser les travaux sur les tableaux de permutation en combinatoire énumérative [13, 18], bijective [2, 5, 20] et analytique [3, 12].